유도 및 평가
다음 부정적분을 평가합니다:
\[ \int a^x \, dx \]여기서 \( a \)는 \( a > 0 \)이고 \( a \neq 1 \)인 상수입니다.
먼저 지수 표현식 \( a^x \)의 밑을 변환합니다:
\( y = a^x \)로 놓고 양변의 자연로그(\( \ln \))를 취합니다:
\[ \ln y = \ln(a^x) \]로그 성질 \( \ln(a^x) = x \ln a \)를 사용하여 식을 다시 씁니다:
\[ \ln y = x \ln a \]양변에 지수함수를 적용합니다:
\[ y = e^{x \ln a} \]이므로 \( y = a^x \)로부터 다음 항등식을 얻습니다:
지수 밑 변환:
\[ a^x = e^{x \ln a} \]
이 항등식을 사용하여 주어진 적분식을 다시 쓸 수 있습니다:
\[ \int a^x \, dx = \int e^{x \ln a} \, dx \qquad (1) \]이제 치환을 사용하여 우측의 적분을 평가합니다:
\( u = x \ln a \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \)가 됩니다. 정의에 따라, 미분은 \( du = \ln a \, dx \), 즉 \( dx = \dfrac{1}{\ln a} \, du \)입니다.
적분 (1)에 대입합니다:
\[ \int e^{x \ln a} \, dx = \int e^u \left( \dfrac{1}{\ln a} \right) du = \dfrac{1}{\ln a} \int e^u \, du \]표준 적분 \( \int e^u \, du = e^u + c \)를 평가합니다:
\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]여기서 \( c \)는 적분 상수입니다.
\( u = x \ln a \)를 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + c \]마지막으로 관계식 \( e^{x \ln a} = a^x \)를 사용하여 표준 적분 공식에 도달합니다:
\( a^x \)의 적분 공식:
\[ \int a^x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + c \]
추가 참고 자료 및 링크
- 적분 공식표
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8